Determine as raízes indicadas. Represente as raízes no plano complexo.
As quintas raízes de 32.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar todas as soluções de z^5 = 32 e desenhá-las no plano complexo. O conteúdo envolve raízes de números complexos usando a forma exponencial/trigonométrica.

Passo 2

Vamos escrever o número 32 em forma exponencial. Como 32 é real e positivo, temos magnitude R = 32 e argumento theta = 0. Em notação exponencial:
32 = 32e^i0

Passo 3

Para obter as raízes quintas, usamos que se w = Re^itheta, então as raízes zk são dadas por
zk = R^tfrac1 5e^i(tfractheta + 2pi k5),
com k = 0,1,2,3,4.

Passo 4

Calculamos a magnitude de cada raiz:
R^tfrac1 5 = 32^tfrac1 5 = 2
E os argumentos:
arg(zk) = 0 + 2pi k5 = 2pi k5, k=0,1,2,3,4

Passo 5

Logo, as cinco raízes são
zk = 2l(costfrac2pi k5 + isintfrac2pi k5r), k=0,1,2,3,4
No plano complexo, esses pontos ficam igualmente espaçados num círculo de raio 2, com ângulos de 0°, 72°, 144°, 216° e 288°.

Resposta

As raízes são
zk = 2e^i2pi k5 = 2l(costfrac2pi k5 + isintfrac2pi k5r), k=0,1,2,3,4
Elas formam cinco vértices de um pentágono regular inscrito num círculo de raio 2 no plano complexo.

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