Determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de
am. Em quanto tempo esse capital triplicaria?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quanto tempo leva para um capital dobrar de valor quando aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Além disso, também queremos saber em quanto tempo esse capital triplica. Vamos usar conceitos de Juros Compostos e fórmulas matemáticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula dos Juros Compostos, que é usada para calcular o valor futuro de um investimento. A fórmula é:
Onde:
-
é o montante final. -
é o capital inicial. -
é a taxa de juros por período. -
é o número de períodos.
Passo 3
Para dobrar o capital, queremos que o montante final
seja o dobro do capital inicial
. Então, temos:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 5
Agora, precisamos resolver para
. Para isso, usamos logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Pela propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 6
Isolando
:
Agora, calculando:
Passo 7
Para triplicar o capital, fazemos um processo similar. Queremos que
:
Simplificando:
Aplicando logaritmos:
Isolando
:
Resposta
O capital dobra em aproximadamente 14,2 meses e triplica em cerca de 22,5 meses quando aplicado a uma taxa de 5% ao mês.