Determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5 % am. Em quanto tempo esse capital triplicaria?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quanto tempo leva para um capital dobrar de valor quando aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Além disso, também queremos saber em quanto tempo esse capital triplica. Vamos usar conceitos de Juros Compostos e fórmulas matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula dos Juros Compostos, que é usada para calcular o valor futuro de um investimento. A fórmula é:
A = P times (1 + r)^n
Onde:
  • A é o montante final.
  • P é o capital inicial.
  • r é a taxa de juros por período.
  • n é o número de períodos.

Passo 3

Para dobrar o capital, queremos que o montante final A seja o dobro do capital inicial P . Então, temos:
2P = P times (1 + 0,05)^n

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por P :
2 = (1 + 0,05)^n
Ou seja:
2 = 1,05^n

Passo 5

Agora, precisamos resolver para n . Para isso, usamos logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(2) = ln(1,05^n)
Pela propriedade dos logaritmos ln(a^b) = b ln(a) , temos:
ln(2) = n times ln(1,05)

Passo 6

Isolando n :
n = ln(2)ln(1,05)
Agora, calculando:
n approx 0,69310,04879 approx 14,2 meses

Passo 7

Para triplicar o capital, fazemos um processo similar. Queremos que A = 3P :
3P = P times 1,05^n
Simplificando:
3 = 1,05^n
Aplicando logaritmos:
ln(3) = n times ln(1,05)
Isolando n :
n = ln(3)ln(1,05) approx 1,09860,04879 approx 22,5 meses

Resposta

O capital dobra em aproximadamente 14,2 meses e triplica em cerca de 22,5 meses quando aplicado a uma taxa de 5% ao mês.

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