Prove pela definição (usando varepsilon ) que :
lim n infty 1n^2=0 lim n infty nn+8=1

Passo 1

Estamos lidando com sequências reais e queremos provar pelos critérios de varepsilon que
limn to infty 1n^2 = 0 e limn to infty nn+8 = 1
O que precisamos é aplicar a definição de limite de sequência: para todo varepsilon>0 encontrar NinN tal que, para todo n>= N, o termo geral da sequência difira do limite em menos de varepsilon.

Passo 2

Prova de limntoinfty1n^2=0. Seja arbitrário varepsilon>0. Desejamos
|1n^2 - 0| < varepsilon
Mas l|1n^2r| = 1n^2, então basta ter
1n^2 < varepsilon Long<=ftrightarrow n^2 > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1raizvarepsilon
Logo, basta escolher
N = lceil 1raizvarepsilon rceil
Para todo n>= N teremos n>1raizvarepsilon, logo 1n^2<varepsilon. Isso encerra a prova do primeiro limite.

Passo 3

Prova de limntoinftynn+8=1. Seja dado varepsilon>0. Precisamos
|nn+8-1|<varepsilon
Calculamos
|nn+8-1| = |n - (n+8)n+8| = 8n+8
Queremos 8n+8<varepsilon, isto é
n+8 > 8varepsilon Long<=ftrightarrow n > 8varepsilon - 8
Basta então escolher
N = lceil 8varepsilon - 8 rceil
Para todo n>= N a desigualdade 8n+8<varepsilon vale, provando o segundo limite.

Resposta

limntoinfty1n^2=0
limntoinftynn+8=1

Exercícios relacionados