Prove pela definição (usando varepsilon ) que : lim n infty 1n^2=0 lim n infty nn+8=1 Passo 1Estamos lidando com sequências reais e queremos provar pelos critérios de varepsilon que limn to infty 1n^2 = 0 e limn to infty nn+8 = 1 O que precisamos é aplicar a definição de limite de sequência: para todo varepsilon>0 encontrar NinN tal que, para todo n>= N, o termo geral da sequência difira do limite em menos de varepsilon. Passo 2Prova de limntoinfty1n^2=0. Seja arbitrário varepsilon>0. Desejamos |1n^2 - 0| < varepsilon Mas l|1n^2r| = 1n^2, então basta ter 1n^2 < varepsilon Long<=ftrightarrow n^2 > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1raizvarepsilon Logo, basta escolher N = lceil 1raizvarepsilon rceil Para todo n>= N teremos n>1raizvarepsilon, logo 1n^2<varepsilon. Isso encerra a prova do primeiro limite. Passo 3Prova de limntoinftynn+8=1. Seja dado varepsilon>0. Precisamos |nn+8-1|<varepsilon Calculamos |nn+8-1| = |n - (n+8)n+8| = 8n+8 Queremos 8n+8<varepsilon, isto é n+8 > 8varepsilon Long<=ftrightarrow n > 8varepsilon - 8 Basta então escolher N = lceil 8varepsilon - 8 rceil Para todo n>= N a desigualdade 8n+8<varepsilon vale, provando o segundo limite. Resposta limntoinfty1n^2=0 limntoinftynn+8=1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSupondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada. Determinar d zd x e d zd y : x-z=arctg(y z) Mostre que a sequência (an) dada por an=(-3)^nn! converge a zero (Utilize o Teorema do confronto). Verifique se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. Ela é limitada? Converge? an=cos (n pi) Determine d fd x(x)=f^prime(x), se: f(x)=1+raizx1-raizx