Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=(1x^2+x^2)^4

Passo 1

O enunciado dá
y = (1x^2 + x^2)^4,
e pede y'=f'(x). Vamos usar a regra da cadeia, que diz que se y = [u(x)]^4 então
y' = 4,[u(x)]^3,u'(x)

Passo 2

Definimos
u(x) = 1x^2 + x^2
Logo, pela regra da cadeia,
y' = 4,[u(x)]^3;u'(x) =4!(1x^2 + x^2)^3u'(x)

Passo 3

Agora derivamos u(x). Temos
ddx!gl(1x^2gr) =ddxl(x^-2r) =-2x^-3 =-2x^3,
e
ddxl(x^2r) =2x
Portanto
u'(x) = -2x^3 + 2x = 2!l(x - 1x^3r)

Passo 4

Substituindo em y':
y' =4!(1x^2 + x^2)^3 cdot 2!l(x - 1x^3r) =8!(1x^2 + x^2)^3 !l(x - 1x^3r)

Passo 5

Para simplificar completamente, note que
1x^2 + x^2 =x^4+1x^2 e x - 1x^3 =x^4-1x^3
Assim
(1x^2 + x^2)^3 =(x^4+1)^3x^6,
e
x - 1x^3 =x^4-1x^3
Logo
y' =8;(x^4+1)^3x^6;x^4-1x^3 =8,(x^4-1),(x^4+1)^3x^9

Resposta

y' = 8,(x^4-1),(x^4+1)^3x^9

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