Resolva as integrais usando frações parciais.
integral 5x^2(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5x^2(x-1)^2,dx
usando frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a função racional em frações mais simples cujas primitivas são conhecidas.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
5x^2(x-1)^2 = Ax + Bx^2 + Cx-1 + D(x-1)^2
Para encontrar A,B,C,D, multiplicamos ambos os lados por x^2(x-1)^2.

Passo 3

Após multiplicar, obtemos
Expandindo em potências de
Dessa forma , e .

Passo 4

Substituindo na decomposição:
5x^2(x-1)^2 = 10x + 5x^2 - 10x-1 + 5(x-1)^2
Agora integramos termo a termo:
integral 10x,dx = 10lnlvert xrvert, integral 5x^2,dx = -5x,
integral -10x-1,dx = -10lnlvert x-1rvert, integral 5(x-1)^2,dx = -5x-1

Passo 5

Somando as primitivas temos
integral 5x^2(x-1)^2,dx = 10lnlvert xrvert - 5x - 10lnlvert x-1rvert - 5x-1 + C

Resposta

10lnlvert xrvert - 10lnlvert x-1rvert - 5x - 5x-1 + C

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