Determine o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão - 5 e décimo termo igual a 12.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética, e fornece duas informações:
  • a razão é -5, ou seja \,d=-5;\n
  • o décimo termo é 12, ou seja \,a_{10}=12.\n
    Pergunta: encontrar o valor de a_1.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagarinho): uma progressão aritmética (PA) é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando sempre a mesma constante chamada razão d. Denotando por a_n o enésimo termo, por a_1 o primeiro termo e por d a razão, a fórmula geral é
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Aqui:
  • a_n significa "o termo de ordem n";
  • a_1 é o primeiro termo que queremos;
  • d é a diferença comum entre termos;
  • (n-1) conta quantas vezes aplicamos a razão para ir de a_1 até a_n.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao décimo termo ( n=10), obtemos a relação entre a_{10}, a_1 e d:
a_{10} = a_1 + (10-1)\,d = a_1 + 9\,d.
Isolando a_1 nessa equação (fazendo operações algébricas simples), temos
a_1 = a_{10} - 9\,d.
Esse passo é só reorganizar a igualdade para resolver para a incógnita a_1.

Passo 4

Agora substituímos os valores que o enunciado deu: a_{10}=12 e d=-5. Então
a_1 = 12 - 9\cdot(-5).
Cálculo cuidadoso dos sinais: 9\cdot(-5)=-45, e 12 - (-45)=12+45. Portanto
a_1 = 12 + 45 = 57.

Passo 5

Cheque rápido (para ter certeza e ganhar confiança): calcule a_{10} a partir do a_1 encontrado e da razão:
a_{10} = a_1 + 9\,d = 57 + 9\cdot(-5) = 57 - 45 = 12,
que bate com o enunciado. Tudo consistente — bom trabalho!

Resposta

57

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