Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais
e obtenha uma formula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
Leithold 3ed exer 12.3.8
Sol.
Leithold 3ed exer 12.3.8
Sol.
Passo 1
O enunciado pede os primeiros quatro termos da sequência de somas parciais
da série
e uma fórmula geral para
em função de
. Em seguida, devemos decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é série geométrica.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente os quatro primeiros
, lembrando que
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Reconhecemos que
e a razão é
Como
, é uma série geométrica convergente.
Passo 4
A fórmula geral para a soma parcial de uma série geométrica é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Para a soma infinita, fazemos
. Como
, temos
Resposta
Os quatro primeiros termos são
A fórmula geral é
A fórmula geral é
A série converge e sua soma é
.