Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}
Leithold 3ed exer 12.3.8
Sol. s_{n}=1-\left(\frac{2}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede os primeiros quatro termos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}
e uma fórmula geral para s_n em função de n. Em seguida, devemos decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é série geométrica.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente os quatro primeiros s_n, lembrando que
s_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k-1}}{3^k}.
Para n=1:
s_1 = \frac{2^{0}}{3^1} = \frac{1}{3}.
Para n=2:
s_2 = \frac{1}{3} + \frac{2^{1}}{3^2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3+2}{9} = \frac{5}{9}.
Para n=3:
s_3 = \frac{5}{9} + \frac{2^{2}}{3^3} = \frac{5}{9} + \frac{4}{27} = \frac{15+4}{27} = \frac{19}{27}.
Para n=4:
s_4 = \frac{19}{27} + \frac{2^{3}}{3^4} = \frac{19}{27} + \frac{8}{81} = \frac{57+8}{81} = \frac{65}{81}.

Passo 3

Reconhecemos que \displaystyle a_1=\frac{1}{3} e a razão é
r = \frac{\frac{2^{1}}{3^2}}{\frac{2^{0}}{3^1}} = \frac{2}{3}.
Como |r|<1, é uma série geométrica convergente.

Passo 4

A fórmula geral para a soma parcial de uma série geométrica é
s_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}.
Substituindo a_1=\frac{1}{3} e r=\frac{2}{3}, obtemos
s_n = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n}{1 - \tfrac{2}{3}} = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n}{\tfrac{1}{3}} = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 5

Para a soma infinita, fazemos n\to\infty. Como \lim_{n\to\infty}(2/3)^n=0, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} =\lim_{n\to\infty}s_n =1-0=1.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\displaystyle s_1=\tfrac{1}{3},\;s_2=\tfrac{5}{9},\;s_3=\tfrac{19}{27},\;s_4=\tfrac{65}{81}.
A fórmula geral é
s_n = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.
A série converge e sua soma é 1.

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