- Questão 3 Considere o campo vetorial
e a superfície
formada pelas seis faces do cubo
de lado
orientada para fora do cubo. Seja
a face
do cubo, orientada no sentido de
. Seja
a curva do espaço que delimita a superfície
, com orientação positiva, parametrizada como um caminho
.
3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
.
3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
.
Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a
do valor de qq ítem.
3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo
3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho
Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e o cubo
de vértices em
. A superfície fechada
é o conjunto das seis faces de
, orientadas para fora. A face superior
é o quadrado
com normal
. A curva
é a fronteira de
, orientada positivamente (sentido anti-horário visto de cima).
Precisamos calcular:
3A)
3B)
3C)
Ferramentas: definição de fluxo, Teorema de Gauss (divergência), Teorema de Green (linha no plano).
Precisamos calcular:
3A)
3B)
3C)
Ferramentas: definição de fluxo, Teorema de Gauss (divergência), Teorema de Green (linha no plano).
Passo 2
Cálculo de
.
Em temos
e
, então
Em
A área de
é
. Logo
Passo 3
Cálculo de
pelo Teorema de Gauss.
A divergência é
A divergência é
O volume do cubo é
. Assim
Passo 4
Cálculo de
.
Na curva ,
constante e
. Logo
Na curva
Pela orientação positiva, aplicamos o Teorema de Green no domínio
(quadrado
):
Resposta
3A.
3B.
3C.
3B.
3C.