• Questão 3 Considere o campo vetorial \vec{F}=y \vec{i}+2 x \vec{j}+\frac{z}{4} \vec{k} e a superfície S formada pelas seis faces do cubo V de lado 6(x= \pm 3, y= \pm 3, z= \pm 3) orientada para fora do cubo. Seja S_{1} a face z=3 do cubo, orientada no sentido de \vec{k}. Seja C_{1} a curva do espaço que delimita a superfície S_{1}, com orientação positiva, parametrizada como um caminho r(t).
    3A.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo \iint_{S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{\eta} d S
    3B.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de fluxo \oiint_{S} \vec{F} \cdot \vec{\eta} d S.
    3C.(1.0pt) Obtenha o valor da integral de trabalho \oint_{C_{1}} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
    Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a 25 \% do valor de qq ítem.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F = y\,\vec i + 2x\,\vec j + \frac z4\,\vec k
e o cubo V de vértices em x,y,z=\pm3. A superfície fechada S é o conjunto das seis faces de V, orientadas para fora. A face superior S_1 é o quadrado z=3 com normal \vec\eta=\vec k. A curva C_1 é a fronteira de S_1, orientada positivamente (sentido anti-horário visto de cima).
Precisamos calcular:
3A) \displaystyle\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec\eta\,dS
3B) \displaystyle\oiint_{S}\vec F\cdot\vec\eta\,dS
3C) \displaystyle\oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r
Ferramentas: definição de fluxo, Teorema de Gauss (divergência), Teorema de Green (linha no plano).

Passo 2

Cálculo de \displaystyle\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec\eta\,dS.
Em S_1 temos z=3 e \vec\eta=\vec k, então
\vec F\cdot\vec\eta = \vec F\cdot\vec k = \frac z4 = \frac{3}{4}.
A área de S_1 é 6\times6=36. Logo
\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec\eta\,dS = \frac{3}{4}\times36 =27.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\oiint_{S}\vec F\cdot\vec\eta\,dS pelo Teorema de Gauss.
A divergência é
\nabla\!\cdot\vec F = \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial(2x)}{\partial y} + \frac{\partial(z/4)}{\partial z} =0+0+\frac14 =\frac14.
O volume do cubo é 6^3=216. Assim
\oiint_{S}\vec F\cdot\vec\eta\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\vec F\,dV =\frac14\cdot216 =54.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\oint_{C_1}\vec F\cdot d\vec r.
Na curva C_1, z=3 constante e d\vec r=(dx,dy,0). Logo
\vec F\cdot d\vec r = y\,dx + 2x\,dy.
Pela orientação positiva, aplicamos o Teorema de Green no domínio D (quadrado -3\le x,y\le3):
\oint_{C_1}y\,dx+2x\,dy =\iint_{D}\Bigl(\partial_x(2x)-\partial_y(y)\Bigr)\,dA =\iint_{D}(2-1)\,dA =\iint_{D}1\,dA =36.

Resposta

3A. 27
3B. 54
3C. 36

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