Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}
Leithold 3ed exer 12.3.20
Sol. Converge, S=3

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{\,n-1}}
e decidir se ela converge ou diverge; caso convergente, calcular a soma. O conteúdo é série geométrica e usaremos o critério \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Calculamos os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4:
a_1 = \frac{2}{3^{1-1}} = \frac{2}{3^0} = 2,
a_2 = \frac{2}{3^{2-1}} = \frac{2}{3},
a_3 = \frac{2}{3^{3-1}} = \frac{2}{9},
a_4 = \frac{2}{3^{4-1}} = \frac{2}{27}.

Passo 3

Reconhecemos que é uma série geométrica de primeiro termo a_1=2 e razão
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\tfrac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas: se \lvert r\rvert<1, a série converge. Aqui \lvert\tfrac{1}{3}\rvert<1, logo a série converge.

Passo 5

Para séries geométricas convergentes, a soma é
S = \frac{a_1}{1 - r}.
Substituindo a_1=2 e r=\tfrac{1}{3},
S = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{2}{\tfrac{2}{3}} = 3.

Resposta

A série é convergente e sua soma é S=3.

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