Questão 2 Considere a superfície parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(u, v)=2 \sqrt{1+v^{2}} \cos (u) \vec{i}+3 \sqrt{1+v^{2}} \operatorname{sen}(u) \vec{j}+4 v \vec{k}, \quad v \in \mathbb{R}, 0 \leq u \leq 2 \pi
2A. (0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana (isto é, em x, y, z ) para essa superfície, e identifique-a pelo nome mais comum.
2B.(1.0pt) Obtenha os vetores \vec{r}_{u} e \vec{r}_{v} que determinam o plano tangente à superfície quando (u, v)=\left(\frac{7 \pi}{4}, 1\right) e o respectivo ponto P_{0} do espaço.
2C.(1.0pt) Obtenha um vetor unitário \vec{N} normal à superfície no ponto P_{0} definido no ítem anterior (qq orientação).
2D. (0.5pt) Obtenha uma equação cartesiana para o plano tangente à superfície no ponto P_{0}.
Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a 25 \% do valor de qq ítem.
com v\in\mathbb R, 0\le u\le2\pi. Precisamos:
– 2A: equação cartesiana em x,y,z e identificação da superfície.
– 2B: \vec r_{u} e \vec r_{v} no ponto (u,v)=(7\pi/4,1) e o ponto P_{0}.
– 2C: vetor unitário normal em P_{0}.
– 2D: equação do plano tangente em P_{0}.