Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_{n}\} da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^{n}},
obter uma fórmula geral para s_{n} em termos de n, e verificar se a série é convergente ou divergente, calculando sua soma quando convergente. O conteúdo principal aqui é série geométrica e sua soma.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_{n} = \frac{2^{n-1}}{3^{n}} = \frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n-1}.
Logo, isso é uma série geométrica de primeiro termo
a = \frac{1}{3}
e razão
r = \frac{2}{3}.

Passo 3

Calculando os quatro primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} e somando:
a_{1} = \tfrac{1}{3},
a_{2} = \tfrac{2}{9},
a_{3} = \tfrac{4}{27},
a_{4} = \tfrac{8}{81}.
Assim,
s_{1} = a_{1} = \frac{1}{3},
s_{2} = a_{1}+a_{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9},
s_{3} = s_{2}+a_{3} = \frac{5}{9} + \frac{4}{27} = \frac{19}{27},
s_{4} = s_{3}+a_{4} = \frac{19}{27} + \frac{8}{81} = \frac{65}{81}.

Passo 4

Para a soma dos n primeiros termos de uma série geométrica vale
s_{n} \;=\; a\,\frac{1 - r^{n}}{1 - r}.
Substituindo a=\tfrac{1}{3} e r=\tfrac{2}{3}, temos
s_{n} = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\frac{2}{3}\bigr)^{n}}{1 - \frac{2}{3}} = 1 - \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 5

Como \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3}<1, a série converge quando n\to\infty e a soma infinita é
\lim_{n\to\infty} s_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr) = 1.

Resposta

s_{1} = \frac{1}{3},\quad s_{2} = \frac{5}{9},\quad s_{3} = \frac{19}{27},\quad s_{4} = \frac{65}{81}.
s_{n} = 1 - \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.
A série é convergente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} = 1.

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