Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais
e obtenha uma formula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série
.
Precisamos de dois objetivos: (1) achar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais e obter uma fórmula geral para
em função de
; (2) determinar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.
Precisamos de dois objetivos: (1) achar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
Passo 2
Para começar, vamos decompor o termo geral
em frações parciais do tipo
.
Igualando numeradores, obtemos as equações
Igualando numeradores, obtemos as equações
cuja solução é
,
e
. Logo,
Passo 3
A soma parcial
fica
fica
A parte telescópica
enquanto
é a soma parcial dos inversos dos quadrados. Portanto
Passo 4
Agora basta calcular
a partir da fórmula:
Passo 5
Para estudar a convergência, note que
converge, quando
, para
, e
. Logo
portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
Fórmula geral:
A série converge, e