Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)}.
Precisamos de dois objetivos: (1) achar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} e obter uma fórmula geral para s_n em função de n; (2) determinar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.

Passo 2

Para começar, vamos decompor o termo geral
\frac{2n+1}{n^2(n+1)}
em frações parciais do tipo \frac{A}{n}+\frac{B}{n^2}+\frac{C}{n+1}.
Igualando numeradores, obtemos as equações
A+C=0,\quad A+B=2,\quad B=1,
cuja solução é A=1, B=1 e C=-1. Logo,
\frac{2n+1}{n^2(n+1)} =\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n+1}.

Passo 3

A soma parcial
\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n\frac{2k+1}{k^2(k+1)}
fica
s_n =\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) +\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}.
A parte telescópica
\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) =1-\frac{1}{n+1},
enquanto \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} é a soma parcial dos inversos dos quadrados. Portanto
\boxed{ s_n =1-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}. }

Passo 4

Agora basta calcular s_1,s_2,s_3,s_4 a partir da fórmula:
s_1=1-\tfrac12+1=\tfrac{3}{2},\qquad s_2=1-\tfrac13+\Bigl(1+\tfrac14\Bigr)=\tfrac{23}{12},
s_3=1-\tfrac14+\Bigl(1+\tfrac14+\tfrac19\Bigr)=\tfrac{19}{9},\qquad s_4=1-\tfrac15+\Bigl(1+\tfrac14+\tfrac19+\tfrac1{16}\Bigr)=\tfrac{1601}{720}.

Passo 5

Para estudar a convergência, note que \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} converge, quando n\to\infty, para \tfrac{\pi^2}{6}, e \tfrac1{n+1}\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}s_n =1+\frac{\pi^2}{6},
portanto a série converge e sua soma é 1+\tfrac{\pi^2}{6}.

Resposta

s_1=\tfrac{3}{2}, s_2=\tfrac{23}{12}, s_3=\tfrac{19}{9}, s_4=\tfrac{1601}{720}.
Fórmula geral:
s_n =1-\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}.
A série converge, e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)} =1+\frac{\pi^2}{6}.

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