Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}
e verificar se ela converge. Se convergir, calcular a soma. O conteúdo aqui é série geométrica.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4 em \tfrac{2}{3^{n-1}}:
n=1:\;\frac{2}{3^{0}}=2,\quad n=2:\;\frac{2}{3^{1}}=\frac{2}{3},\quad n=3:\;\frac{2}{3^{2}}=\frac{2}{9},\quad n=4:\;\frac{2}{3^{3}}=\frac{2}{27}.

Passo 3

Reconhecemos que é uma série geométrica de primeiro termo
a = 2
e razão
r = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Uma série geométrica converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert \tfrac{1}{3}\rvert = \tfrac{1}{3}<1, logo a série converge.

Passo 5

A soma de uma série geométrica convergente é
S = \frac{a}{1 - r}
portanto
S = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{2}{\tfrac{2}{3}} = 3.

Resposta

A série converge e sua soma é 3.

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