Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos e investigação de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2}.
O conteúdo envolvido é convergência de séries de termos positivos, em especial o caso p-série com p=1, e o teste da comparação (ou comparação limite) com a série harmônica.

Passo 2

Definindo a_n=\frac{1}{n+2}, calculamos os quatro primeiros termos:
a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3},\quad a_2 = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4},\quad a_3 = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5},\quad a_4 = \frac{1}{4+2} = \frac{1}{6}.

Passo 3

Para testar convergência comparamos a_n à série harmônica \sum 1/n. Observe que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2} =1\neq 0.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1/n diverge (caso p=1), a série dada também diverge pelo teste da comparação limite.

Resposta

Os quatro primeiros termos são \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{6}.
A série diverge porque é equivalente, em comportamento assintótico, à série harmônica de ordem p=1.

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