Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais
e obtenha uma formula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
da série
uma expressão para
em termos de
e, por fim, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar a técnica de frações parciais e telescópica.
Passo 2
Decompomos o termo geral em frações parciais:
Procuramos e
tais que
Procuramos
Multiplicando em cruz:
Comparando coeficientes de
:
.
Comparando termos constantes:
Logo,
Comparando termos constantes:
Logo,
Passo 3
Escrevendo a soma parcial:
Esse somatório telescopa:
Passo 4
Usando a expressão obtida:
temos
Passo 5
Como
a série converge e sua soma é
.
Resposta
Os quatro primeiros termos são
A fórmula geral é
A fórmula geral é
A série converge e