Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3 n+1)(3 n-2)}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais \{s_{n}\} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)},
uma expressão para s_{n} em termos de n e, por fim, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar a técnica de frações parciais e telescópica.

Passo 2

Decompomos o termo geral em frações parciais:
Procuramos A e B tais que
\frac{5}{(3n+1)(3n-2)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}.
Multiplicando em cruz:
5 = A(3n+1)+B(3n-2).
Comparando coeficientes de n:
3(A+B)=0\implies B=-A.
Comparando termos constantes:
A-2B=5\implies A-2(-A)=3A=5\implies A=\tfrac{5}{3},\;B=-\tfrac{5}{3}.
Logo,
\frac{5}{(3n+1)(3n-2)} =\frac{5/3}{3n-2}-\frac{5/3}{3n+1}.

Passo 3

Escrevendo a soma parcial:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{5}{(3k+1)(3k-2)} =\frac{5}{3}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).
Esse somatório telescopa:
s_{n}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\Bigr) =\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3n+1}\Bigr).

Passo 4

Usando a expressão obtida:
s_{n}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3n+1}\Bigr),
temos
s_{1}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{4}\Bigr)=\frac{5}{4},\quad s_{2}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{7}\Bigr)=\frac{10}{7},\quad s_{3}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{10}\Bigr)=\frac{3}{2},\quad s_{4}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{13}\Bigr)=\frac{20}{13}.

Passo 5

Como
\lim_{n\to\infty}s_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3n+1}\Bigr) =\frac{5}{3},
a série converge e sua soma é \tfrac{5}{3}.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
\displaystyle s_{1}=\tfrac{5}{4},\;s_{2}=\tfrac{10}{7},\;s_{3}=\tfrac{3}{2},\;s_{4}=\tfrac{20}{13}.
A fórmula geral é
s_{n}=\frac{5}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3n+1}\Bigr).
A série converge e
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(3n-2)}=\frac{5}{3}.

Exercícios relacionados