Quais das sequências \left\{a_{n}\right\} convergem ou divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\left(\frac{3 n+1}{3 n-1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\Bigl(\frac{3n+1}{3n-1}\Bigr)^{n},
e pede para saber se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites de sequências da forma \bigl(1+u_n\bigr)^{v_n}, usando aproximação logarítmica e o número e.

Passo 2

Reescrevemos o termo dentro da potência de modo a evidenciar uma forma do tipo 1+u_n:
\frac{3n+1}{3n-1} \;=\; 1 + \frac{2}{3n-1}.
Portanto
a_{n} \;=\;\Bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\Bigr)^{n}.
Isso nos sugere usar a estratégia de tomar o logaritmo e depois voltar à exponencial.

Passo 3

Definimos
L = \lim_{n\to\infty}a_n \quad\Longrightarrow\quad \ln L = \lim_{n\to\infty}\ln a_n.
Como
\ln a_n = n\,\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\Bigr),
e sabendo que \ln(1+x)\sim x quando x\to0, temos
\ln a_n = n\!\Bigl(\tfrac{2}{3n-1} + o(\tfrac1n)\Bigr) = \frac{2n}{3n-1} + o(1) \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{2}{3}.

Passo 4

Logo
\ln L = \frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad L = e^{2/3}.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência \{a_n\} converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = e^{2/3}.

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