Quais das sequências \left\{a_{n}\right\} convergem ou divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente. a_{n}=\left(\frac{3 n+1}{3 n-1}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\Bigl(\frac{3n+1}{3n-1}\Bigr)^{n},
e pede para saber se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites de sequências da forma \bigl(1+u_n\bigr)^{v_n}, usando aproximação logarítmica e o número e.
Passo 2
Reescrevemos o termo dentro da potência de modo a evidenciar uma forma do tipo 1+u_n:
\frac{3n+1}{3n-1} \;=\; 1 + \frac{2}{3n-1}.
Portanto
a_{n} \;=\;\Bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\Bigr)^{n}.
Isso nos sugere usar a estratégia de tomar o logaritmo e depois voltar à exponencial.
Passo 3
Definimos
L = \lim_{n\to\infty}a_n \quad\Longrightarrow\quad \ln L = \lim_{n\to\infty}\ln a_n.