Quais das sequências \left\{a_{n}\right\} convergem ou divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\sqrt{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \sqrt{n^{2} + n}
verificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de sequências, especialmente o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Para entender o comportamento de a_{n} quando n fica grande, fatoramos n^{2} dentro da raiz:
a_{n} = \sqrt{n^{2} + n} = \sqrt{n^{2}\Bigl(1 + \tfrac{1}{n}\Bigr)} = n \,\sqrt{1 + \tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Analisamos o fator \sqrt{1 + \tfrac{1}{n}}. Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0,
segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt{1 + \tfrac{1}{n}} = \sqrt{1 + 0} = 1.

Passo 4

Com isso,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(n\sqrt{1 + \tfrac{1}{n}}\bigr) = \Bigl(\lim_{n\to\infty}n\Bigr)\times 1 = +\infty.
Ou seja, a_{n} cresce sem limite superior e não converge para um número finito.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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