Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque. \sum_{n=1}^{\infty} \tan ^{n} \frac{\pi}{6}
Passo 1
O enunciado pede para escrever, quando necessário, os quatro primeiros termos da série
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, calcular a soma. Vamos usar que isso é uma série geométrica com razão \displaystyle r = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr), o teste de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula \displaystyle S=\frac{a}{1-r}.
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}}.
Simplificando,
S = \frac{1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador,
S = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}.
Resposta
Primeiros quatro termos: \tfrac{1}{\sqrt{3}}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3\sqrt{3}}, \tfrac{1}{9}
A série é convergente e sua soma é \displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}.