Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \tan ^{n} \frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede para escrever, quando necessário, os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{n}\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, calcular a soma. Vamos usar que isso é uma série geométrica com razão
\displaystyle r = \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr), o teste de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula
\displaystyle S=\frac{a}{1-r}.

Passo 2

Calculamos a razão:
\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo \displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Os quatro primeiros termos da série são
r,\;r^2,\;r^3,\;r^4
isto é,
\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \frac{1}{3},\quad \frac{1}{3\sqrt{3}},\quad \frac{1}{9}.

Passo 4

Como
\lvert r\rvert = \Bigl\lvert \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr\rvert < 1,
a série geométrica converge.

Passo 5

A soma da série, com primeiro termo a=r, é
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}}.
Simplificando,
S = \frac{1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando o denominador,
S = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}.

Resposta

Primeiros quatro termos: \tfrac{1}{\sqrt{3}}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3\sqrt{3}}, \tfrac{1}{9}
A série é convergente e sua soma é \displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}.

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