Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado pede a análise da série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n+2}: escrever seus quatro primeiros termos e verificar convergência, calculando a soma caso seja convergente ou explicando o motivo da divergência.

Passo 2

Os quatro primeiros termos são, para n=1,2,3,4:
\frac{2\cdot1+1}{3\cdot1+2}=\frac{3}{5},\quad \frac{2\cdot2+1}{3\cdot2+2}=\frac{5}{8},\quad \frac{2\cdot3+1}{3\cdot3+2}=\frac{7}{11},\quad \frac{2\cdot4+1}{3\cdot4+2}=\frac{9}{14}.

Passo 3

Usamos o teste da divergência (teste do termo geral). Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\tfrac1n}{3+\tfrac2n} =\frac{2}{3}\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não se anula no limite ( \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2}=\tfrac23\neq0).

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