Determine os primeiros quatro elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\} e obtenha uma formula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente, no caso de ser convergente, calcule sua soma
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}, uma fórmula geral para s_n em função de n e, por fim, verificar a convergência da série e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como uma progressão geométrica. Para n\ge1:
a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n-1}.
Portanto a_1=\tfrac{1}{3} e a razão é r=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Calculamos os quatro primeiros termos de s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k:
s_1 = a_1 = \frac{1}{3},
s_2 = a_1 + a_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9},
s_3 = s_2 + a_3 = \frac{5}{9} + \frac{4}{27} = \frac{19}{27},
s_4 = s_3 + a_4 = \frac{19}{27} + \frac{8}{81} = \frac{65}{81}.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
s_n = a_1\,\frac{1-r^n}{1-r}.
Substituindo a_1=\tfrac{1}{3} e r=\tfrac{2}{3}, vem
s_n = \frac{1}{3}\,\frac{1-(\tfrac{2}{3})^n}{1-\tfrac{2}{3}} = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 5

Como \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3}<1, temos \lim_{n\to\infty}(\tfrac{2}{3})^n=0. Logo a série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} = \lim_{n\to\infty}s_n = 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
s_1=\frac{1}{3},\quad s_2=\frac{5}{9},\quad s_3=\frac{19}{27},\quad s_4=\frac{65}{81}.
A fórmula geral é
s_n = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.
A série converge e sua soma vale 1.

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