Questão 14. Seja X uma variável aleatória discreta cuja função de distribuição de probabilidade ê: probabilidade.
F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } x<-2 \\\ \frac{1}{8}, \text { se }-2 \leq x<1 \\\ \frac{5}{8}, \text { se } 1 \leq x<2 \\\ \frac{7}{8}, \text { se } 2 \leq x<4 \\\\ 1, \text { se } x \geq 4 \end{array}\right.
Determine o valor esperado desta variável aleatória.

Passo 1

O enunciado fornece a função de distribuição acumulada F(x) de uma v.a. discreta X com saltos em x=-2,1,2,4. O conteúdo aqui é transformar F(x) em função massa de probabilidade p_X(x)=P(X=x) usando o tamanho dos saltos, e em seguida calcular o valor esperado
E[X] = \sum_x x\,p_X(x).

Passo 2

Para uma v.a. discreta, a probabilidade em cada ponto x_i é o salto de F em x_i:
p_X(x_i)=P(X=x_i)=F(x_i)-\lim_{x\to x_i^-}F(x).
Os pontos de salto são -2,1,2,4.

Passo 3

Calculemos cada massa:
P(X=-2)=F(-2)-\lim_{x\to -2^-}F(x)=\tfrac18-0=\tfrac18,
P(X=1)=F(1)-\lim_{x\to1^-}F(x)=\tfrac58-\tfrac18=\tfrac48=\tfrac12,
P(X=2)=F(2)-\lim_{x\to2^-}F(x)=\tfrac78-\tfrac58=\tfrac28=\tfrac14,
P(X=4)=F(4)-\lim_{x\to4^-}F(x)=1-\tfrac78=\tfrac18.

Passo 4

Agora o valor esperado é
E[X] =\sum_{x\in\{-2,1,2,4\}}x\,P(X=x) =-2\cdot\tfrac18+1\cdot\tfrac12+2\cdot\tfrac14+4\cdot\tfrac18.
Calculemos termo a termo:
-2\cdot\tfrac18=-\tfrac14,\quad 1\cdot\tfrac12=\tfrac12,\quad 2\cdot\tfrac14=\tfrac12,\quad 4\cdot\tfrac18=\tfrac12.
Somando:
E[X]=-\tfrac14+\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12 =-\tfrac14+\tfrac{3}{2} =\tfrac{-1+6}{4} =\tfrac54.

Resposta

\displaystyle E[X]=\tfrac54.

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