Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}
e, em seguida, determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica.

Passo 2

Vamos listar os primeiros quatro termos da sequência geral a_n = \frac{2}{3^{n-1}}:
a_1 = \frac{2}{3^{1-1}} = \frac{2}{3^{0}} = 2,
a_2 = \frac{2}{3^{2-1}} = \frac{2}{3^{1}} = \tfrac{2}{3},
a_3 = \frac{2}{3^{3-1}} = \frac{2}{3^{2}} = \tfrac{2}{9},
a_4 = \frac{2}{3^{4-1}} = \frac{2}{3^{3}} = \tfrac{2}{27}.

Passo 3

Observamos que esta é uma série geométrica com primeiro termo
a = a_1 = 2
e razão
r = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{\tfrac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Para séries geométricas, a convergência ocorre se e somente se \lvert r\rvert < 1. Aqui
\lvert r\rvert = \left\lvert \tfrac{1}{3}\right\rvert = \tfrac{1}{3} < 1,
logo a série converge.

Passo 5

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a = 2 e r = \tfrac{1}{3}, temos
S = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{3}} = \frac{2}{\tfrac{2}{3}} = 3.

Resposta

A série converge e sua soma é 3.

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