Expresse a dízima periódica como a razão de dos inteiros
(d) 3 . \overline{142857}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica
3.\overline{142857}
como uma razão de dois inteiros. O conteúdo envolvido é a conversão de decimal periódico em fração, usando manipulação algébrica para eliminar a parte repetitiva.

Passo 2

Separemos a parte inteira da parte decimal periódica:
3.\overline{142857} = 3 + 0.\overline{142857}.

Passo 3

Seja
x = 0.\overline{142857}.
Como o período tem 6 dígitos, multiplica-se por 10^6:
10^6 x = 142857.\overline{142857}.
Agora subtraímos a definição original x dessa igualdade para eliminar a parte periódica:
10^6 x - x = 142857.\overline{142857} - 0.\overline{142857}
(10^6 - 1)\,x = 142857
999999\,x = 142857
x = \frac{142857}{999999}.

Passo 4

Observando que
142857 \times 7 = 999999,
podemos simplificar a fração:
x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}.

Passo 5

Voltando à soma com a parte inteira:
3.\overline{142857} = 3 + x = 3 + \frac{1}{7} = \frac{21}{7} + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}.

Resposta

\frac{22}{7}

Exercícios relacionados