Questão 13. Considere três lançamentos de uma moeda não viciada. Seja X a variável aleatória que corresponde ao número de caras nos três lançamentos. Determine a sua função de probabilidade e sua função de distribuição de probabilidade.

Passo 1

O enunciado considera três lançamentos de uma moeda não viciada e define a variável aleatória X como o número de caras nesses lançamentos. O conteúdo da matéria é a distribuição binomial para variável discreta e vamos precisar da fórmula geral da probabilidade em distribuição binomial e do conceito de função de distribuição acumulada.

Passo 2

O conjunto de valores possíveis de X é \{0,1,2,3\}. Como a moeda é justa, cada sequência de três lançamentos tem probabilidade \frac{1}{2^3}. Na distribuição binomial de parâmetros n=3 e p=\tfrac12, a função de probabilidade de massa é dada por
P(X=x)=\binom{3}{x}\Bigl(\frac12\Bigr)^x\Bigl(\frac12\Bigr)^{3-x} =\binom{3}{x}\,\frac{1}{2^3}.

Passo 3

Calculando para cada x\in\{0,1,2,3\} obtemos:
P(X=0)=\binom{3}{0}\frac{1}{8}=\frac{1}{8},\quad P(X=1)=\binom{3}{1}\frac{1}{8}=\frac{3}{8},\quad P(X=2)=\binom{3}{2}\frac{1}{8}=\frac{3}{8},\quad P(X=3)=\binom{3}{3}\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.

Passo 4

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) é definida por:
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \frac{1}{8}, & 0\le x<1,\\\ \frac{1}{2}, & 1\le x<2,\\\ \frac{7}{8}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}

Resposta

A função de probabilidade de X\) é \[P(X=x)= \begin{cases} \frac{1}{8}, & x=0,\\\ \frac{3}{8}, & x=1,\\\ \frac{3}{8}, & x=2,\\\ \frac{1}{8}, & x=3,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
A função de distribuição acumulada de (X] é
F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \frac{1}{8}, & 0\le x<1,\\\ \frac{1}{2}, & 1\le x<2,\\\ \frac{7}{8}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}

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