(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{2^{n}}{2 n+1}
a_{n}=\frac{2^{n}}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
pede: (i) os 5 primeiros termos (assumindo
); (ii) dizer se a sequência converge ou diverge; (iii) se convergir, encontrar o limite. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 2
Calcular explicitamente os 5 primeiros termos substituindo
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Uma verificação rápida por aproximação (apenas para intuir o comportamento):
Vê-se que os termos aumentam e já ultrapassam
rapidamente — sugere crescimento não limitado.
Passo 4
Estudar monotonicidade usando a razão entre termos consecutivos:
Simplificando,
Compare com
:
Portanto, para todo
vale
, ou seja,
é estritamente crescente a partir de
. Além disso,
o que reforça a ideia de crescimento (razão limite
).
Passo 5
Para concluir se tende a um número finito ou a
, mostro que a sequência é não só crescente como também não é limitada superiormente (é não-limitada).
Nota que, para todo
,
Assim
Defina
. Calcule a razão
logo para
grande essa razão é
e
cresce sem limite; em particular
. Como
para todo
, segue que
também. Outra forma de ver: exponenciais (
) crescem muito mais rápido que lineares (
), então
, e daí
.
Passo 6
Conclusão: a sequência é estritamente crescente a partir de
e não tem limite finito; diverge para
.
Resposta
Divergente;