(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{2^{n}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2^{n}}{2n+1},
pede: (i) os 5 primeiros termos (assumindo n=1,2,3,4,5); (ii) dizer se a sequência converge ou diverge; (iii) se convergir, encontrar o limite. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 2

Calcular explicitamente os 5 primeiros termos substituindo n=1,2,3,4,5:
Para n=1:
a_{1}=\frac{2^{1}}{2\cdot1+1}=\frac{2}{3}.
Para n=2:
a_{2}=\frac{2^{2}}{2\cdot2+1}=\frac{4}{5}.
Para n=3:
a_{3}=\frac{2^{3}}{2\cdot3+1}=\frac{8}{7}.
Para n=4:
a_{4}=\frac{2^{4}}{2\cdot4+1}=\frac{16}{9}.
Para n=5:
a_{5}=\frac{2^{5}}{2\cdot5+1}=\frac{32}{11}.

Passo 3

Uma verificação rápida por aproximação (apenas para intuir o comportamento):
\frac{2}{3}\approx0,667,\quad \frac{4}{5}=0,8,\quad \frac{8}{7}\approx1,143,\quad \frac{16}{9}\approx1,778,\quad \frac{32}{11}\approx2,909.
Vê-se que os termos aumentam e já ultrapassam 1,2,3 rapidamente — sugere crescimento não limitado.

Passo 4

Estudar monotonicidade usando a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{2^{n+1}}{2(n+1)+1}\cdot\frac{2n+1}{2^{n}} =2\cdot\frac{2n+1}{2n+3}.
Simplificando,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{4n+2}{2n+3}.
Compare com 1:
\frac{4n+2}{2n+3}>1 \iff 4n+2>2n+3 \iff 2n>1 \iff n>\tfrac{1}{2}.
Portanto, para todo n\ge1 vale \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1, ou seja, (a_n) é estritamente crescente a partir de n=1. Além disso,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}2\cdot\frac{2n+1}{2n+3}=2,
o que reforça a ideia de crescimento (razão limite >1).

Passo 5

Para concluir se tende a um número finito ou a +\infty, mostro que a sequência é não só crescente como também não é limitada superiormente (é não-limitada).
Nota que, para todo n\ge1,
2n+1\le 3n \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2n+1}\ge\frac{1}{3n}.
Assim
a_{n}=\frac{2^{n}}{2n+1}\ge\frac{2^{n}}{3n}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{n}}{n}.
Defina b_n=\dfrac{2^n}{n}. Calcule a razão
\frac{b_{n+1}}{b_n}=2\cdot\frac{n}{n+1}\to 2\quad\text{quando }n\to\infty,
logo para n grande essa razão é >1 e b_n cresce sem limite; em particular b_n\to+\infty. Como a_n\ge \tfrac{1}{3}b_n para todo n\ge1, segue que a_n\to+\infty também. Outra forma de ver: exponenciais ( 2^n) crescem muito mais rápido que lineares ( n), então \dfrac{2^n}{n}\to\infty, e daí \dfrac{2^n}{2n+1}\to\infty.

Passo 6

Conclusão: a sequência é estritamente crescente a partir de n=1 e não tem limite finito; diverge para +\infty.

Resposta

a_{1}=\dfrac{2}{3},\\ a_{2}=\dfrac{4}{5},\\ a_{3}=\dfrac{8}{7},\\ a_{4}=\dfrac{16}{9},\\ a_{5}=\dfrac{32}{11}
Divergente; a_{n}\to+\infty

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