Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(t)=(1-3 t)^2

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos uma primitiva da função f(t)=(1-3t)^2. O conteúdo aqui é integração por substituição, usando que a derivada de 1-3t está dentro do quadrado.

Passo 2

Fazemos a substituição u = 1 - 3t. Então du = -3,dt, logo dt = -tfrac13,du. A integral vira
integral (1-3t)^2 ,dt = integral u^2 l(-tfrac13,dur) = -tfrac13integral u^2 ,du

Passo 3

Agora integramos u^2:
-tfrac13 cdot u^33 + C = -u^39 + C

Passo 4

Voltando à variável t, temos
F(t) = -(1-3t)^39 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos:
F'(t) = -19 cdot 3(1-3t)^2 cdot (-3) = (1-3t)^2 = f(t)

Resposta

-\tfrac{(1-3t)^3}{9} + C

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