Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=raiz[3]x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=raiz[3]x^2+2x+1, ou seja, calcular integral f(x),dx. Para isso vamos usar a regra de potência na integral indefinida.

Passo 2

Note que raiz[3]x^2=x^2/3, então podemos escrever f(x)=x^2/3+2x+1. Vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando a regra de potência integral x^n,dx=x^n+1n+1+C, temos
integral x^2/3,dx=x^(2/3)+1(2/3)+1=x^5/35/3=35x^5/3

Passo 3

Para os outros termos:
integral 2x,dx=2cdotx^22=x^2,
integral 1,dx=x

Passo 4

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, uma primitiva geral é
F(x)=35x^5/3+x^2+x+C

Passo 5

Para verificar, derivamos:
F'(x)=35cdot53x^2/3+2x+1=x^2/3+2x+1=f(x),
logo está certo!

Resposta

F(x)=35x^5/3+x^2+x+C, pois sua derivada é f(x)=x^2/3+2x+1.

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