Determine uma primitiva para cada função. Faça quantos puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação.
2 . \frac{2}{3} x^{-1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x) = \frac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}},
isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Vamos usar a regra de integração de potências:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Aqui n=-\tfrac{1}{3}. Portanto,
F(x) = \int \frac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx = \frac{2}{3}\;\frac{x^{-\tfrac{1}{3}+1}}{-\tfrac{1}{3}+1} + C = \frac{2}{3}\;\frac{x^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} + C = x^{\tfrac{2}{3}} + C.

Passo 3

Conferimos por diferenciação:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac{2}{3}}+C\bigr) = \frac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}} = f(x),
logo está correto.

Resposta

Uma primitiva é
F(x)=x^{\tfrac{2}{3}}+C.

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