Determine uma primitiva para cada função. Faça quantos puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação.
2 \frac{1}{2} x^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva (antiderivada) para a função \tfrac{5}{2}x^{-\tfrac12}. O conteúdo a usar é a regra de potência para integração.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Aqui n=-\tfrac12, logo
\int x^{-\tfrac12}dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} + C = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = 2x^{\tfrac12} + C.
Multiplicando pelo coeficiente \tfrac52, obtemos
\frac{5}{2}\int x^{-\tfrac12}dx = \frac{5}{2}\cdot 2x^{\tfrac12} + C = 5x^{\tfrac12} + C.

Passo 3

Conferimos por diferenciação:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{\tfrac12}+C\bigr) =5\cdot\frac12\,x^{-\tfrac12} =\frac{5}{2}x^{-\tfrac12},
que coincide com a função dada.

Resposta

5\sqrt{x}+C.

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