1. Determine uma primitiva para cada função. Faça quantos puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação.
    b. x^{x}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de f(x)=x^x. O conteúdo envolve integração de uma função que não se reduz a formas elementares conhecidas.

Passo 2

Observe que
x^x = e^{x\ln x}.
A integral
\int e^{x\ln x}\,dx
não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas etc.).

Passo 3

Para contornar isso, definimos uma nova função por integral indefinida. Escolhendo um ponto base, por exemplo 1, definimos
F(x)=\int_{1}^{x} t^t\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
F'(x)=x^x,
ou seja, F é de fato uma primitiva de x^x.

Resposta

Uma primitiva de x^x é
F(x)=\int_{1}^{x} t^t\,dt + C,
pois ao diferenciar obtemos F'(x)=x^x.

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