Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int(\sqrt{x}+\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de \sqrt{x}+\sqrt{x}. O conteúdo é primitiva de funções do tipo x^n e usaremos a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Observamos que
\sqrt{x}+\sqrt{x} = 2\,x^{\tfrac12}.

Passo 3

Aplicando a regra de potências:
\int(\sqrt{x}+\sqrt{x})\,dx = \int 2\,x^{\tfrac12}\,dx = 2\int x^{\tfrac12}\,dx = 2\cdot\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{4}{3}\,x^{\tfrac32} + C.

Passo 4

Conferindo por diferenciação:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{4}{3}x^{\tfrac32}+C\Bigr) = \tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{3}{2}\,x^{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12} = \sqrt{x}+\sqrt{x}.

Resposta

F(x)=\frac{4}{3}\,x^{\tfrac32}+C.

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