Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int\left(1-x^{2}-3 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a primitiva mais geral de
\int\bigl(1 - x^{2} - 3x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de polinômios, que se faz via regra de potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Vamos usar a linearidade da integral e separar termo a termo:
\int\bigl(1 - x^{2} - 3x^{3}\bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx \;-\;3\int x^{3}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada parcela:
\int 1\,dx = x, \quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Portanto
\int\bigl(1 - x^{2} - 3x^{3}\bigr)\,dx = x \;-\;\frac{x^{3}}{3} \;-\;3\cdot\frac{x^{4}}{4} + C = x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{4}}{4} + C.

Passo 4

Verificação por diferenciação: seja
F(x)=x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{4}}{4} + C.
Então
F'(x) = 1 - x^{2} - 3x^{3},
que coincide exatamente com o integrando original.

Resposta

\int\bigl(1 - x^{2} - 3x^{3}\bigr)\,dx = x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{4}}{4} + C.

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