Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=35 sec ^2(x2)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=35sec^2!l(tfracx2r)
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Observamos que
ddutan(u)=sec^2(u)
Logo, se conseguirmos escrever a integral em termos de sec^2(u),du, podemos usar diretamente esse resultado.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x2, du = 12,dx Longrightarrow dx = 2,du
Assim,
integral 35sec^2!l(tfracx2r),dx = integral 35sec^2(u)cdot 2,du = 65integral sec^2(u),du = 65tan(u) + C

Passo 4

Voltando à variável x, a primitiva geral é
F(x) = 65tan!l(tfracx2r) + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = 65cdot sec^2!l(tfracx2r)cdot 12 = 35sec^2!l(tfracx2r) = f(x),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

65tan!l(tfracx2r) + C

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