Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=7 e^2 x-3 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
f(x)=7e^2x-3e^-x
e depois verificar a resposta derivando. O conteúdo envolvido é a integral de exponenciais do tipo integral e^ax,dx=tfrac1ae^ax.

Passo 2

Calcular a integral de 7e^2x:
integral 7e^2x,dx =7integral e^2x,dx =7cdot12e^2x =72e^2x

Passo 3

Calcular a integral de -3e^-x:
integral -3e^-x,dx =-3integral e^-x,dx =-3cdot(-1)e^-x =3e^-x

Passo 4

Somando as duas partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva
F(x)=72e^2x+3e^-x+C

Passo 5

Verificar derivando F(x):
F'(x) =72cdot2e^2x+3cdot(-1)e^-x =7e^2x-3e^-x =f(x),
ou seja, confirma que F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

F(x)=72e^2x+3e^-x+C

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