Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=ln (x)+1x

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva para
f(x)=ln(x)+1x
Esse problema envolve antiderivadas e, para ln(x) vamos usar integração por partes, enquanto para tfrac1x aplicamos a regra básica de potências.

Passo 2

Para calcular
integral ln(x),dx
usamos integração por partes, com
u=ln(x), dv=dx
logo
du=1x,dx, v=x
Portanto
integral ln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1x,dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x + C1

Passo 3

Para calcular
integral 1x,dx
aplicamos a primitiva padrão de x^-1:
integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C2
Como normalmente consideramos x>0, fica ln(x)+C2.

Passo 4

Somando as duas antiderivadas obtemos
F(x) = l(xln(x) - xr) + ln(x) + C,
onde C=C1+C2 é a constante de integração global. Assim,
F(x) = xln(x) - x + ln(x) + C

Passo 5

Verificamos derivando:
F'(x) = ddxl(xln(x)r) - 1 + 1x = l(ln(x)+1r) - 1 + 1x = ln(x) + 1x,
que coincide com f(x).

Resposta

F(x) = xln(x) - x + ln(x) + C

Exercícios relacionados