Determine a primitiva de cada função. Verifique suas respostas derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa achar a primitiva da função
. Isso significa encontrar uma função cuja derivada seja igual a
. Para isso, vamos usar as regras de antiderivação (primitivas) e, depois, vamos verificar nossa resposta diferenciando.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração. Lembrando que
é o mesmo que
e
é igual a
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primitiva de cada termo separadamente. A antiderivada de
é dada por:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando essa regra ao primeiro termo
:
Passo 5
Fazendo o mesmo para o segundo termo
:
Passo 6
Agora, juntando as duas primitivas encontradas:
Passo 7
Para simplificar a resposta, podemos reescrever
e
em termos de raízes:
Passo 8
Agora, vamos verificar nossa resposta diferenciando a primitiva encontrada. A derivada de
é:
E a derivada de
é:
Somando as derivadas:
Confirmamos que a primitiva está correta.
Resposta
A primitiva da função
é:
ou, de forma simplificada,