Determine a primitiva de cada função. Verifique suas respostas derivando. f(x) = raiz(x) + 1/raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa achar a primitiva da função . Isso significa encontrar uma função cuja derivada seja igual a . Para isso, vamos usar as regras de antiderivação (primitivas) e, depois, vamos verificar nossa resposta diferenciando.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração. Lembrando que é o mesmo que e é igual a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primitiva de cada termo separadamente. A antiderivada de é dada por:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra ao primeiro termo :

Passo 5

Fazendo o mesmo para o segundo termo :

Passo 6

Agora, juntando as duas primitivas encontradas:

Passo 7

Para simplificar a resposta, podemos reescrever e em termos de raízes:

Passo 8

Agora, vamos verificar nossa resposta diferenciando a primitiva encontrada. A derivada de é:
E a derivada de é:
Somando as derivadas:
Confirmamos que a primitiva está correta.

Resposta

A primitiva da função é:
ou, de forma simplificada,

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