Sejam u e v dois vetores com módulo igual a raiz(2). Em cada item, determine o módulo de u + v considerando que o ângulo theta formado entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, que têm o mesmo tamanho, ou seja, módulo igual a raiz(2). A gente quer descobrir qual é o módulo da soma desses vetores, , sabendo que o ângulo entre eles é theta. Pra resolver isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a fórmula para o módulo da soma de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o módulo da soma de dois vetores quando conhecemos os módulos deles e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Essa fórmula vem do teorema do paralelogramo e nos ajuda a calcular o tamanho da soma de dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem nessa fórmula. Sabemos que e . Então, substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, somamos os termos constantes:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Podemos fatorar o 4 para simplificar ainda mais:

Resposta

O módulo de é .

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