Determine uma primitiva da função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma primitiva da função
.
Informações dadas relevantes: a função está definida para . O que se quer é encontrar uma função
tal que
. Não há outras condições (como valor em um ponto), então a primitiva virá com uma constante arbitrária
.
Informações dadas relevantes: a função está definida para
Passo 2
O que significa “determinar uma primitiva”: encontrar
tal que a derivada de
seja
. Em notação,
Quando encontramos uma família de primitivas acrescentamos uma constante
, porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 3
Vamos usar a regra básica para primitivas (regra da potência): para
,
Explicação rápida do porquê: pela regra da derivada,
. Então, se dividimos por
obtemos
, o que mostra que
é uma primitiva de
. Aqui
é um número real qualquer diferente de
.
Passo 4
Observação importante (caso especial): quando
a fórmula acima não vale; nesse caso
Isso não se aplica diretamente ao nosso caso, mas é bom lembrar por que o caso
é especial.
Passo 5
Agora aplicamos a regra ao nosso
. Escrevemos
Logo
Aqui
(que é diferente de
), então usando a regra da potência,
Substituindo na expressão com o sinal menos:
onde
é outra constante arbitrária (a constante final permanece arbitrária).
Passo 6
Escrevendo de forma mais direta:
Verificação rápida (checar na prova é sempre bom): derivando
,
Portanto está correto.
Passo 7
Resumo final: a primitiva é
válida para
. Vai com calma na prova — se virem potências negativas, aplica a regra da potência; só lembre do caso especial
.