Determine uma primitiva da função:
g(x)=-1 / x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva da função g(x)=-1/x^{2}.
Informações dadas relevantes: a função está definida para x\neq 0. O que se quer é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=g(x). Não há outras condições (como valor em um ponto), então a primitiva virá com uma constante arbitrária C.

Passo 2

O que significa “determinar uma primitiva”: encontrar F tal que a derivada de F seja g. Em notação,
F'(x)=g(x).
Quando encontramos uma família de primitivas acrescentamos uma constante C, porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Vamos usar a regra básica para primitivas (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: pela regra da derivada, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n+1}\bigr)=(n+1)x^{n}. Então, se dividimos por n+1 obtemos \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}, o que mostra que \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}. Aqui n é um número real qualquer diferente de -1.

Passo 4

Observação importante (caso especial): quando n=-1 a fórmula acima não vale; nesse caso
\int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Isso não se aplica diretamente ao nosso caso, mas é bom lembrar por que o caso n=-1 é especial.

Passo 5

Agora aplicamos a regra ao nosso g. Escrevemos
g(x)=-\frac{1}{x^{2}}=-x^{-2}.
Logo
\int g(x)\,dx=-\int x^{-2}\,dx.
Aqui n=-2 (que é diferente de -1), então usando a regra da potência,
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}+C.
Substituindo na expressão com o sinal menos:
-\int x^{-2}\,dx=-\bigl(-x^{-1}+C\bigr)=x^{-1}+C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária (a constante final permanece arbitrária).

Passo 6

Escrevendo de forma mais direta:
F(x)=x^{-1}+C=\frac{1}{x}+C,\qquad x\neq 0.
Verificação rápida (checar na prova é sempre bom): derivando F,
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}=g(x).
Portanto está correto.

Passo 7

Resumo final: a primitiva é \dfrac{1}{x}+C válida para x\neq 0. Vai com calma na prova — se virem potências negativas, aplica a regra da potência; só lembre do caso especial n=-1.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}+C,\; x\neq 0

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