Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(x)=\frac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3

Passo 1

O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral (isto é, a antiderivada geral) da função \displaystyle f(x)=\frac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3 e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas: a função é composta por três termos: \displaystyle \frac{10}{x^{6}}, \displaystyle -2e^{x} e \displaystyle 3.
Pedido: encontrar uma função F(x) tal que \displaystyle F'(x)=f(x), com a constante de integração incluída.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Linearidade da integração: a primitiva de soma de funções é a soma das primitivas e constantes fatoram para fora. Ou seja, \displaystyle \int (a\cdot g(x) + b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx, onde a e b são constantes.
  • Regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde n é um número real e C é a constante de integração. Aqui x^{n} significa a função potência e n é o expoente.
  • Primitiva da exponencial: \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C. Isso porque \displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Primitiva de constante: \displaystyle \int a\,dx = a x + C, para constante a.
Vou aplicar essas regras termo a termo em seguida.

Passo 3

Reescrevo o primeiro termo em forma de potência para aplicar a regra da potência:
\frac{10}{x^{6}} = 10x^{-6}.
Pelo princípio da linearidade,
\int f(x)\,dx = \int 10x^{-6}\,dx \;+\; \int (-2e^{x})\,dx \;+\; \int 3\,dx.

Passo 4

Calculo a primitiva do primeiro termo \displaystyle 10x^{-6}. Aqui n=-6 e n\neq -1, então uso a regra da potência:
\int 10x^{-6}\,dx = 10\cdot\int x^{-6}\,dx = 10\cdot\frac{x^{-5}}{-5} = 10\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)x^{-5} = -2x^{-5}.
Posso também escrever esse termo como -\dfrac{2}{x^{5}}.

Passo 5

Calculo a primitiva do segundo termo \displaystyle -2e^{x}. Usando que \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} e aplicando a constante -2 para fora:
\int (-2e^{x})\,dx = -2\int e^{x}\,dx = -2e^{x}.

Passo 6

Calculo a primitiva do terceiro termo \displaystyle 3. Usando que a primitiva de uma constante a é ax:
\int 3\,dx = 3x.

Passo 7

Junto os resultados dos três termos e adiciono a constante de integração C:
F(x) = -2x^{-5} - 2e^{x} + 3x + C.
Ou, de forma equivalente,
F(x) = -\frac{2}{x^{5}} - 2e^{x} + 3x + C.

Passo 8

Conferência: derivando F(x) para verificar se volta a f(x).
Derivo termo a termo:
  • Para -2x^{-5}: uso regra da potência na derivação. Se g(x)=x^{m} então g'(x)=m x^{m-1}. Aqui m=-5, então
\frac{d}{dx}\left(-2x^{-5}\right) = -2\cdot(-5)x^{-6} = 10x^{-6}.
  • Para -2e^{x}:
\frac{d}{dx}\left(-2e^{x}\right) = -2e^{x}.
  • Para 3x:
\frac{d}{dx}(3x) = 3.
  • A constante C tem derivada zero.
Somando as derivadas:
F'(x) = 10x^{-6} - 2e^{x} + 3,
que é exatamente f(x)=\dfrac{10}{x^{6}}-2 e^{x}+3. Então a primitiva encontrada está correta.

Resposta

F(x) = -\frac{2}{x^{5}} - 2e^{x} + 3x + C

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