Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a primitiva mais geral (isto é, a antiderivada geral) da função
e conferir a resposta derivando-a.
Informações dadas: a função é composta por três termos: ,
e
.
Pedido: encontrar uma função tal que
, com a constante de integração incluída.
Informações dadas: a função é composta por três termos:
Pedido: encontrar uma função
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas com calma):
- Linearidade da integração: a primitiva de soma de funções é a soma das primitivas e constantes fatoram para fora. Ou seja,
, onde e são constantes. - Regra da potência para primitiva: para
,
onde
é um número real e
é a constante de integração. Aqui
significa a função potência e
é o expoente.
- Primitiva da exponencial:
. Isso porque . - Primitiva de constante:
, para constante .
Vou aplicar essas regras termo a termo em seguida.
Passo 3
Reescrevo o primeiro termo em forma de potência para aplicar a regra da potência:
Pelo princípio da linearidade,
Passo 4
Calculo a primitiva do primeiro termo
. Aqui
e
, então uso a regra da potência:
Posso também escrever esse termo como
.
Passo 5
Calculo a primitiva do segundo termo
. Usando que
e aplicando a constante
para fora:
Passo 6
Calculo a primitiva do terceiro termo
. Usando que a primitiva de uma constante
é
:
Passo 7
Junto os resultados dos três termos e adiciono a constante de integração
:
Ou, de forma equivalente,
Passo 8
Conferência: derivando
para verificar se volta a
.
Derivo termo a termo:
- Para
: uso regra da potência na derivação. Se então . Aqui , então
- Para
:
- Para
:
- A constante
tem derivada zero.
Somando as derivadas:
que é exatamente
. Então a primitiva encontrada está correta.