Determine a primitiva mais geral:
\int_{-2}^{0}|x+1| d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{-2}^{0} |x+1|\,dx.
O pedido escrito foi “Determine a primitiva mais geral” associado a essa expressão. Então temos duas tarefas implícitas e relevantes:
  1. Encontrar a primitiva (a antiderivada) geral da função x\mapsto |x+1| — isto é, uma família de funções F(x) tal que F'(x)=|x+1| para todo x.
  2. Usar essa primitiva (ou outro método) para calcular o valor da integral definida de -2 a 0.
As informações relevantes: a função a integrar é x\mapsto |x+1| e o intervalo de integração é [-2,0]. Não faltam dados; há um ponto importante para notar: o módulo muda de sinal quando x+1=0, ou seja, em x=-1. Isso vai influenciar a forma da primitiva e o cálculo da integral definida.

Passo 2

Entendendo o módulo e como integrá-lo (aulas rápidas e práticas).
A função valor absoluto tem a propriedade básica:
|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x+1\). Então \[|x+1|=\begin{cases} -(x+1), & \text{se } x+1<0\\ (\text{ou seja } x<-1),\\[4pt] x+1, & \text{se } x+1\ge0\\ (\text{ou seja } x\ge-1). \end{cases}
Para integrar uma função com módulo, a técnica padrão é dividir o domínio em intervalos onde o argumento do módulo tem sinal conhecido. No nosso caso, o ponto crítico é x=-1\]. Como o intervalo de integração \([-2,0] contém esse ponto, vamos separar em [-2,-1] e [-1,0].
Além disso, precisamos lembrar a antiderivada básica de polinômios: a antiderivada de x é x^2/2 e a de uma constante a é a x. Mais formalmente, para p(x)=ax+b,
\int (ax+b)\,dx = a\frac{x^2}{2}+bx + C,
onde C é a constante arbitrária (a “constante de integração”).]

Passo 3

Encontrando a primitiva (antiderivada) de f(x)=|x+1|\) de forma explícita e “a mais geral”. Usando a decomposição por sinal: - Para \(x<-1\), \(f(x)=-(x+1)=-x-1\). Uma primitiva é \[F_1(x)=\int (-x-1)\,dx = -\frac{x^2}{2}-x + D,
onde D é uma constante (aqui escrevi D para o possível valor da constante no ramo à esquerda).
  • Para x\ge-1, f(x)=x+1. Uma primitiva é
F_2(x)=\int (x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}+x + C,
onde C é outra constante (constante no ramo à direita).
Para que F seja uma primitiva válida em toda a reta, F precisa ser contínua (toda primitiva é contínua). Então devemos igualar os valores de F_1 e F_2 em x=-1. Calculemos:
F_1(-1) = -\frac{(-1)^2}{2}-(-1)+D = -\frac{1}{2}+1 + D = \frac{1}{2} + D,
F_2(-1) = \frac{(-1)^2}{2}+(-1)+C = \frac{1}{2}-1 + C = -\frac{1}{2} + C.
Igualando F_1(-1)=F_2(-1) obtém-se
\frac{1}{2}+D = -\frac{1}{2}+C \quad\Longrightarrow\quad D = C-1.
Portanto podemos escrever a primitiva geral com uma única constante arbitrária C (mais elegante e padrão), colocando D=C-1. Assim uma primitiva geral é a função contínua
\boxed{\,F(x)=\begin{cases} -\dfrac{x^2}{2}-x + C-1, & x<-1,\\[8pt] \dfrac{x^2}{2}+x + C, & x\ge -1, \end{cases}\\ }
onde C\in\mathbb{R}\] é a constante arbitrária. (Observação: você poderia escolher a igualdade no ponto \(x=-1 no outro ramo; o importante é que as constantes sejam relacionadas para garantir continuidade.)]

Passo 4

Verificando rapidamente que F'(x)=|x+1|.
Derivando cada ramo:
  • Se x<-1, F'(x)= -x -1 = -(x+1), que é exatamente |x+1| nesse intervalo (porque ali x+1<0).
  • Se x>-1, F'(x)= x+1, que é |x+1| quando x+1>0.
    No ponto x=-1 a derivada de F existe e vale 0, que coincide com |-1+1|=0. Então F é realmente uma primitiva de |x+1|.

Passo 5

Calculando a integral definida \displaystyle\int_{-2}^{0}|x+1|\,dx usando a decomposição por sinais (método direto, passo a passo).
Como dito, separamos em dois intervalos:
\int_{-2}^{0}|x+1|\,dx = \int_{-2}^{-1} (-(x+1))\,dx + \int_{-1}^{0} (x+1)\,dx.
Agora calculamos cada integral.
Primeiro termo:
\int_{-2}^{-1} (-(x+1))\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{x=-2}^{x=-1}.
Avaliaremos os extremos:
\left(-\frac{(-1)^2}{2}-(-1)\right) - \left(-\frac{(-2)^2}{2}-(-2)\right) = \left(-\frac{1}{2}+1\right) - \left(-\frac{4}{2}+2\right).
Calcule termo a termo:
-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2},\qquad -\frac{4}{2}+2 = -2+2=0.
Logo o primeiro termo vale \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.
Segundo termo:
\int_{-1}^{0} (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{x=-1}^{x=0}.
Avaliaremos:
\left(\frac{0^2}{2}+0\right) - \left(\frac{(-1)^2}{2}+(-1)\right) = 0 - \left(\frac{1}{2}-1\right).
\frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2},\quad\text{então } 0 - (-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2}.ã
Portanto o segundo termo também vale \tfrac{1}{2}.
Somando:
\int_{-2}^{0}|x+1|\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Resposta

F(x)=\begin{cases} -\dfrac{x^2}{2}-x + C-1, & x<-1,\\[8pt] \dfrac{x^2}{2}+x + C, & x\ge -1, \end{cases}\quad(C\in\mathbb{R})
\displaystyle\int_{-2}^{0}|x+1|\,dx = 1]

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