Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int \frac{r \sqrt{t}+\sqrt{t}}{r^{2}} d r

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida em r:
\int \frac{r\sqrt{t}+\sqrt{t}}{r^{2}}\,dr.
O conteúdo é integração de função em que \sqrt{t} é constante (pois integra-se em r). Vamos usar as propriedades de linearidade da integral e as regras de potência.

Passo 2

Fatoramos \sqrt{t} na expressão, já que não depende de r:
\frac{r\sqrt{t}+\sqrt{t}}{r^{2}} =\sqrt{t}\,\frac{r+1}{r^{2}}.
Logo,
\int \frac{r\sqrt{t}+\sqrt{t}}{r^{2}}\,dr =\sqrt{t}\int \frac{r+1}{r^{2}}\,dr.

Passo 3

Escrevemos \frac{r+1}{r^{2}} em potências de r:
\frac{r+1}{r^{2}} =\frac{r}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} =r^{-1}+r^{-2}.
Assim,
\sqrt{t}\int \frac{r+1}{r^{2}}\,dr =\sqrt{t}\int\bigl(r^{-1}+r^{-2}\bigr)\,dr.

Passo 4

Integramos termo a termo usando as regras \int r^{-1}dr=\ln|r| e \int r^{-2}dr=-r^{-1}:
\sqrt{t}\Bigl(\ln|r|+(-r^{-1})\Bigr)+C =\sqrt{t}\Bigl(\ln|r|-\frac{1}{r}\Bigr)+C.

Passo 5

Para conferir, derivamos
F(r)=\sqrt{t}\Bigl(\ln|r|-\tfrac1r\Bigr),
obtendo
F'(r) =\sqrt{t}\Bigl(\tfrac1r + \tfrac1{r^{2}}\Bigr) =\frac{r\sqrt{t}+\sqrt{t}}{r^{2}},
que é de fato o integrando dado.

Resposta

\sqrt{t}\Bigl(\ln|r|-\tfrac{1}{r}\Bigr)+C.

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