Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int 2 x\left(1-x^{-3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a primitiva mais geral da função \displaystyle 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)
ou seja, calcular
\int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx
usando as regras de integração de potências e depois conferir por diferenciação.

Passo 2

Expandimos o integrando usando a distributiva:
2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr) = 2x - 2x^{-2}.

Passo 3

Integramos termo a termo aplicando a regra de potência \displaystyle \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) para n\neq -1:
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2},
\int -2x^{-2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = 2x^{-1}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva mais geral
F(x) = x^{2} + 2x^{-1} + C.

Passo 5

Conferimos por diferenciação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2} + 2x^{-1} + C\bigr) = 2x - 2x^{-2} = 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr),
que coincide com o integrando original.

Resposta

F(x) = x^{2} + 2x^{-1} + C

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