Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int x^{-1}(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva mais geral de
\int x^{-1}(x+1)\,dx
ou seja, estamos trabalhando com o conteúdo de integrais indefinidas de funções racionais. Para resolver, vamos usar a propriedade da linearidade da integral e a decomposição em termos mais simples, cujas antiderivadas já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando distribuindo x^{-1}:
x^{-1}(x+1) = x^{-1}\cdot x + x^{-1}\cdot1 = 1 + x^{-1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando que
\int 1\,dx = x + C_1
e
\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + C_2.

Passo 4

Somando as duas partes e juntando as constantes C_1 e C_2 em uma única constante arbitrária C, obtemos a primitiva mais geral
F(x) = x + \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Para conferir por diferenciação, calculamos
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x + \ln|x| + C\bigr) = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\boxed{\,\int x^{-1}(x+1)\,dx = x + \ln\bigl|x\bigr| + C.}

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