Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{54}}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral da função
\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{54}}
em relação a y. Vamos usar que a integral de soma é a soma das integrais e a regra do poder para antiderivadas.

Passo 2

Separo a integral em duas partes:
\int\Bigl(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{54}}\Bigr)dy =\int\frac{1}{7}\,dy -\int y^{-54}\,dy.

Passo 3

Na primeira parte, \frac{1}{7} é constante, então
\int\frac{1}{7}\,dy =\frac{1}{7}\int dy =\frac{y}{7}.

Passo 4

Na segunda parte uso a fórmula
\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=-54, logo
\int y^{-54}dy =\frac{y^{-53}}{-53}.

Passo 5

Juntando as duas parcelas e acrescentando a constante C:
\frac{y}{7} -\Bigl(\frac{y^{-53}}{-53}\Bigr) + C = \frac{y}{7} +\frac{y^{-53}}{53} + C.

Passo 6

Conferindo pela diferenciação:
\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{y}{7}+\frac{y^{-53}}{53}+C\Bigr) =\frac{1}{7}-\frac{53\,y^{-54}}{53} =\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{54}},
que é o integrando original.

Resposta

\int\Bigl(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{54}}\Bigr)dy =\frac{y}{7} +\frac{y^{-53}}{53} + C.

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