DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left(-x^{-4}+1\right)\left(x^{-3}+3 x\right)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva da função f(x) = \left(-x^{-4}+1\right)\left(x^{-3}+3 x\right)^{5} usando mudança de variável; (ii) verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta-se à função original. As informações relevantes dadas são exatamente os fatores do integrando: o fator \left(-x^{-4}+1\right) e o fator \left(x^{-3}+3 x\right)^{5}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Estratégia (intuição para escolher a substituição). Quando aplica-se mudança de variável em integrais, uma dica prática é olhar se alguma parte do integrando tem a forma g(x)^{n} e se outro fator é (proporcional a) g'(x). Aqui aparece g(x)=x^{-3}+3x elevado à quinta potência. Vou testar a substituição
u = x^{-3}+3x.
Agora calculo du em termos de dx. Derivando u em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr) = -3x^{-4} + 3.
Fatorando, obtenho
\frac{du}{dx} = 3\bigl(1 - x^{-4}\bigr).
Isolando dx multiplicado por \bigl(1 - x^{-4}\bigr) (que é exatamente o fator que aparece no integrando, pois -x^{-4}+1 = 1-x^{-4}):
\bigl(1 - x^{-4}\bigr)\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Troca de variável na integral. Substituo u = x^{-3}+3x e \bigl(1 - x^{-4}\bigr)\,dx = \dfrac{1}{3}\,du. A integral original
\int\left(-x^{-4}+1\right)\left(x^{-3}+3 x\right)^{5} dx
fica, após a substituição,
\int u^{5}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{5}\,du.

Passo 4

Integração em u usando a regra da potência. A regra da potência diz que para n\neq -1:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=5, logo
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} que estava fora da integral:
\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{u^{6}}{18} + C.

Passo 5

Volto à variável x. Substituo u = x^{-3}+3x de volta:
\text{primitiva} = \frac{\left(x^{-3}+3x\right)^{6}}{18} + C.

Passo 6

Verificação por diferenciação (cadeia e regra do produto, mas aqui só cadeia). Quero mostrar que
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^{-3}+3x\right)^{6}}{18}\right) = \left(-x^{-4}+1\right)\left(x^{-3}+3 x\right)^{5}.
Faço a derivada usando a regra da cadeia. Se F(x)=\dfrac{1}{18}u(x)^{6} com u(x)=x^{-3}+3x, então
F'(x)=\frac{1}{18}\cdot 6\,u(x)^{5}\cdot u'(x) = \frac{1}{3}u(x)^{5}\cdot u'(x).
Já calculamos u'(x) no Passo 2: u'(x)=3\bigl(1-x^{-4}\bigr). Substituindo,
F'(x)=\frac{1}{3}u(x)^{5}\cdot 3\bigl(1-x^{-4}\bigr) = u(x)^{5}\bigl(1-x^{-4}\bigr).
Voltando a x,
F'(x)=\left(x^{-3}+3x\right)^{5}\left(1-x^{-4}\right).
Como 1-x^{-4}=-x^{-4}+1, isso coincide exatamente com o integrando original. Assim a primitiva está verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{-3}+3x\right)^{6}}{18}+C

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