DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar uma primitiva da função
usando mudança de variável; (ii) verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que volta-se à função original. As informações relevantes dadas são exatamente os fatores do integrando: o fator
e o fator
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Estratégia (intuição para escolher a substituição). Quando aplica-se mudança de variável em integrais, uma dica prática é olhar se alguma parte do integrando tem a forma
e se outro fator é (proporcional a)
. Aqui aparece
elevado à quinta potência. Vou testar a substituição
Agora calculo
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Fatorando, obtenho
Isolando
multiplicado por
(que é exatamente o fator que aparece no integrando, pois
):
Passo 3
Troca de variável na integral. Substituo
e
. A integral original
fica, após a substituição,
Passo 4
Integração em
usando a regra da potência. A regra da potência diz que para
:
onde
é a constante de integração. Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Volto à variável
. Substituo
de volta:
Passo 6
Verificação por diferenciação (cadeia e regra do produto, mas aqui só cadeia). Quero mostrar que
Faço a derivada usando a regra da cadeia. Se
com
, então
Já calculamos
no Passo 2:
. Substituindo,
Voltando a
,
Como
, isso coincide exatamente com o integrando original. Assim a primitiva está verificada.