A função a integrar é f(x)=\dfrac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}.
Precisa-se encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=f(x).
Depois é obrigatório verificar que a derivada da primitiva encontrada realmente retorna f(x).
Passo 2
Ideia da mudança de variável (por que escolher isso):
Observe que a derivada de x^{4}+2x^{2}-4 é 4x^{3}+4x=4(x^{3}+x). Isso sugere usar a substituição
u = x^{4}+2x^{2}-4,
pois parte do numerador é proporcional a u'.
Aplicando a substituição em palavras: a técnica é procurar uma parte do numerador que seja múltiplo de u'(x); aqui x^{3}+x é exatamente \dfrac{1}{4}u'. Vou reescrever o integrando separando essa parte.
\int\frac{1}{x^{2}+A}\,dx=\int\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}\,dx =\frac{1}{2\alpha}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| + C.
Como x^{2}+B = x^{2}+\beta^{2},
\int\frac{1}{x^{2}+B}\,dx =\int\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}\,dx =\frac{1}{\beta}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.
Agora componho I com os coeficientes D,F:
I=\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2\alpha}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| -\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\beta}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.
Simplificando fatores numéricos:
I=\frac{1}{4\alpha\sqrt{5}}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| -\frac{1}{2\beta\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.
Passo 7
Volto à primitiva original lembrando que
\int \frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| - 4I + C.
Derivada das duas outras parcelas (faço de forma condensada):
A derivada de -\dfrac{1}{\alpha\sqrt{5}}\ln\!\left|\dfrac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| é-\frac{1}{\alpha\sqrt{5}}\cdot\frac{2\alpha}{x^{2}-\alpha^{2}} =-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}.
A derivada de \dfrac{2}{\beta\sqrt{5}}\arctan\!\left(\dfrac{x}{\beta}\right) é\frac{2}{\beta\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{1+(x/\beta)^{2}}\cdot\frac{1}{\beta} =\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}.
Somando essas duas contribuições obtemos\frac{2}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}-\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}\right).
Fazendo o somador comum e usando \beta^{2}-(-\alpha^{2})=B-A=2\sqrt{5} chega-se ao resultado-\frac{4}{x^{4}+2x^{2}-4}.
Somando a derivada do primeiro termo com essa última contribuição: