DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left(x^{3}+x-4\right)\left(x^{4}+2 x^{2}-4\right)^{-1} d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva por mudança de variável e verificar derivando para a integral
\int\left(x^{3}+x-4\right)\left(x^{4}+2 x^{2}-4\right)^{-1} dx.
Informações dadas (o que temos):
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}.
  • Precisa-se encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Depois é obrigatório verificar que a derivada da primitiva encontrada realmente retorna f(x).

Passo 2

Ideia da mudança de variável (por que escolher isso):
  • Observe que a derivada de x^{4}+2x^{2}-4 é 4x^{3}+4x=4(x^{3}+x). Isso sugere usar a substituição
u = x^{4}+2x^{2}-4,
pois parte do numerador é proporcional a u'.
Aplicando a substituição em palavras: a técnica é procurar uma parte do numerador que seja múltiplo de u'(x); aqui x^{3}+x é exatamente \dfrac{1}{4}u'. Vou reescrever o integrando separando essa parte.
Reescrevendo o integrando:
\frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4} = \frac{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}-4} - \frac{4}{x^{4}+2x^{2}-4}.
Agora note que com u definido acima temos du = (4x^{3}+4x)\,dx = 4(x^{3}+x)\,dx, ou seja (x^{3}+x)\,dx = \dfrac{1}{4}du.

Passo 3

Transformando a integral com a substituição:
\int \frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx = \int \frac{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx - 4\int \frac{1}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx.
A primeira integral fica direta em u:
\int \frac{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx = \int \frac{1}{4}\frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln|u| + C_1 = \frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| + C_1.
Fica então
\int \frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| - 4\underbrace{\int \frac{1}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx}_{I} + C.
Ou seja, o problema reduziu-se a calcular
I=\int \frac{1}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx.

Passo 4

Fatoração do denominador (passo padrão para I):
  • Coloco y=x^{2}. Então x^{4}+2x^{2}-4 = y^{2}+2y-4.
  • As raízes dessa quadrática em y são
y = -1 \pm \sqrt{5}.
Logo
x^{4}+2x^{2}-4 = (x^{2}-(-1+\sqrt{5}))(x^{2}-(-1-\sqrt{5})).
Para simplificar nomes, defino
A = 1-\sqrt{5}\quad(\text{observe }A<0),\qquad B = 1+\sqrt{5}\quad(B>0).
Então
x^{4}+2x^{2}-4 = (x^{2}+A)(x^{2}+B).
Como A<0 escrevo A=-\alpha^{2} com
\alpha = \sqrt{\sqrt{5}-1}\quad(\alpha>0),
e B=\beta^{2} com
\beta=\sqrt{1+\sqrt{5}}\quad(\beta>0).
Assim os fatores são x^{2}+A = x^{2}-\alpha^{2} e x^{2}+B = x^{2}+\beta^{2}.

Passo 5

Decomposição em frações parciais (como a função é par e o denominador produto de quadráticos sem termo linear, os numeradores serão constantes):
Procuro constantes D,F\) tais que \[\frac{1}{(x^{2}+A)(x^{2}+B)}=\frac{D}{x^{2}+A}+\frac{F}{x^{2}+B}.
Multiplicando por (x^{2}+A)(x^{2}+B) obtém-se
1 = D(x^{2}+B)+F(x^{2}+A) = (D+F)x^{2} + (DB+FA).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} D+F = 0,\\[4pt] DB + FA = 1. \end{cases}
De F=-D\] substituindo na segunda equação: \[D(B-A)=1 \quad\Rightarrow\quad D=\frac{1}{B-A}.\] Calculando \(B-A:
B-A = (1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}.
Logo
D=\frac{1}{2\sqrt{5}},\qquad F=-\frac{1}{2\sqrt{5}}.
Portanto
\frac{1}{x^{4}+2x^{2}-4}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}+A}-\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}+B}.]

Passo 6

Integrais elementares (usarei fórmulas conhecidas e explico):
  • Fórmula 1: para a>0,
\int\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
  • Fórmula 2: para a>0,
\int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\,dx=\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.
Aplicando ao nosso caso:
  • Como x^{2}+A = x^{2}-\alpha^{2} com \alpha>0,
\int\frac{1}{x^{2}+A}\,dx=\int\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}\,dx =\frac{1}{2\alpha}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| + C.
  • Como x^{2}+B = x^{2}+\beta^{2},
\int\frac{1}{x^{2}+B}\,dx =\int\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}\,dx =\frac{1}{\beta}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.
Agora componho I com os coeficientes D,F:
I=\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2\alpha}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| -\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\beta}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.
Simplificando fatores numéricos:
I=\frac{1}{4\alpha\sqrt{5}}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| -\frac{1}{2\beta\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C.

Passo 7

Volto à primitiva original lembrando que
\int \frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| - 4I + C.
Substituindo I (e multiplicando por -4):
  • -4\cdot \dfrac{1}{4\alpha\sqrt{5}} = -\dfrac{1}{\alpha\sqrt{5}},
  • -4\cdot\left(-\dfrac{1}{2\beta\sqrt{5}}\right)=\dfrac{2}{\beta\sqrt{5}}.
Portanto uma primitiva F(x) é
F(x)=\frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| -\frac{1}{\alpha\sqrt{5}}\ln\!\left|\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| +\frac{2}{\beta\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{x}{\beta}\right) + C,
onde
\alpha=\sqrt{\sqrt{5}-1},\qquad \beta=\sqrt{1+\sqrt{5}}.
(Esse F é equivalente a quaisquer outras formas algébricas obtidas por manipulação de constantes e logs.)

Passo 8

Verificação (derivando):
  • Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\ln|x^{4}+2x^{2}-4|\right) =\frac{1}{4}\cdot\frac{4x^{3}+4x}{x^{4}+2x^{2}-4} =\frac{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}-4}.
  • Derivada das duas outras parcelas (faço de forma condensada):
    • A derivada de -\dfrac{1}{\alpha\sqrt{5}}\ln\!\left|\dfrac{x-\alpha}{x+\alpha}\right| é -\frac{1}{\alpha\sqrt{5}}\cdot\frac{2\alpha}{x^{2}-\alpha^{2}} =-\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}.
    • A derivada de \dfrac{2}{\beta\sqrt{5}}\arctan\!\left(\dfrac{x}{\beta}\right) é \frac{2}{\beta\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{1+(x/\beta)^{2}}\cdot\frac{1}{\beta} =\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}.
    • Somando essas duas contribuições obtemos \frac{2}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{x^{2}+\beta^{2}}-\frac{1}{x^{2}-\alpha^{2}}\right).
    • Fazendo o somador comum e usando \beta^{2}-(-\alpha^{2})=B-A=2\sqrt{5} chega-se ao resultado -\frac{4}{x^{4}+2x^{2}-4}.
  • Somando a derivada do primeiro termo com essa última contribuição:
\frac{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}-4} - \frac{4}{x^{4}+2x^{2}-4} = \frac{x^{3}+x-4}{x^{4}+2x^{2}-4},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva F(x) está correta.

Resposta

\boxed{\,F(x)=\frac{1}{4}\ln\!\big|x^{4}+2x^{2}-4\big| -\frac{1}{\sqrt{5}\,\sqrt{\sqrt{5}-1}}\ln\!\left|\frac{x-\sqrt{\sqrt{5}-1}}{x+\sqrt{\sqrt{5}-1}}\right| +\frac{2}{\sqrt{5}\,\sqrt{1+\sqrt{5}}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)+C\,}

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