DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva da função cujo integrando é
usando mudança de variável; (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. As informações dadas são:
- A integral a calcular é
. - Deve ser usada mudança de variável (substituição).
- Depois, é preciso verificar derivando a primitiva obtida.
Passo 2
Ideia da mudança de variável (explicação didática): quando a integral tem a forma
, é natural fazer a substituição
porque então
e a integral passa a ser
, que costuma ser mais simples. No nosso integrando vemos um exponencial com argumento
e, multiplicando esse exponencial, aparece exatamente
. Isso sugere escolher a parte interna do exponencial como
.
Passo 3
Fazer a substituição:
Calcular
:
Note que o fator
aparece exatamente no integrando dado. Portanto a integral original transforma-se em uma integral em
.
Passo 4
Trocar variáveis na integral (passo algébrico):
Agora integrar
. Lembrete breve: a função exponencial
tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma, isto é,
. Por isso a primitiva de
é
(mais uma constante).
Passo 5
Integrando:
onde
é a constante de integração. Voltar à variável
substituindo
:
Passo 6
Verificação derivando (explicação do método): para checar que
é realmente uma primitiva, derivar
e ver se obtemos o integrando. Usar a regra da cadeia: se
, então
Aplicando com
:
Isto é exatamente o integrando
. Como deu match, a primitiva está correta.