DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\left(3 x^{2}+1\right) e^{x^{3}+x}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva da função cujo integrando é \left(3 x^{2}+1\right) e^{x^{3}+x} usando mudança de variável; (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. As informações dadas são:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int\left[\left(3 x^{2}+1\right) e^{x^{3}+x}\right] d x.
  • Deve ser usada mudança de variável (substituição).
  • Depois, é preciso verificar derivando a primitiva obtida.

Passo 2

Ideia da mudança de variável (explicação didática): quando a integral tem a forma \int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx, é natural fazer a substituição
u = g(x),
porque então
du = g'(x)\,dx,
e a integral passa a ser \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples. No nosso integrando vemos um exponencial com argumento x^{3}+x e, multiplicando esse exponencial, aparece exatamente 3x^{2}+1. Isso sugere escolher a parte interna do exponencial como u.

Passo 3

Fazer a substituição:
u = x^{3}+x.
Calcular du:
\frac{du}{dx}=3x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad du=(3x^{2}+1)\,dx.
Note que o fator (3x^{2}+1)\,dx aparece exatamente no integrando dado. Portanto a integral original transforma-se em uma integral em u.

Passo 4

Trocar variáveis na integral (passo algébrico):
\int\left[\left(3 x^{2}+1\right) e^{x^{3}+x}\right] dx = \int e^{u}\,du.
Agora integrar \int e^{u}\,du. Lembrete breve: a função exponencial e^{u} tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma, isto é, \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}. Por isso a primitiva de e^{u} é e^{u} (mais uma constante).

Passo 5

Integrando:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração. Voltar à variável x substituindo u=x^{3}+x:
\boxed{F(x)=e^{x^{3}+x}+C.}

Passo 6

Verificação derivando (explicação do método): para checar que F é realmente uma primitiva, derivar F e ver se obtemos o integrando. Usar a regra da cadeia: se F(x)=e^{g(x)}, então
F'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aplicando com g(x)=x^{3}+x:
F'(x)=e^{x^{3}+x}\cdot(3x^{2}+1).
Isto é exatamente o integrando \left(3 x^{2}+1\right) e^{x^{3}+x}. Como deu match, a primitiva está correta.

Resposta

e^{x^{3}+x}+C

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