DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[-2 x^{-5}+3 x^{-2}+x\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada e verificar essa primitiva derivando-a. A integral que devemos resolver é
\int\left[-2 x^{-5}+3 x^{-2}+x\right]\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é a soma de três termos: -2 x^{-5}, 3 x^{-2} e x.
  • Devemos usar regras básicas de integração termo a termo e depois checar derivando a primitiva encontrada.
  • Ao final inclui-se a constante de integração \,C.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do fator constante: \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, onde a é constante.
  • Regra da soma: \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Regra de potência (para integração): para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui cada variável e expoente que aparecer será tratado com essa regra; é importante lembrar que a regra não vale se n=-1 (caso \int x^{-1}\,dx = \ln|x|+C), mas nos nossos termos os expoentes são -5, -2 e 1, todos diferentes de -1.

Passo 3

Integrar o primeiro termo -2 x^{-5}.
Aplicando a regra do fator constante e a regra de potência com n=-5:
\int -2 x^{-5}\,dx = -2\int x^{-5}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-4}}{-4} = \frac{1}{2}x^{-4}.
Explicando os passos: \int x^{-5}\,dx = \dfrac{x^{-4}}{-4} porque n+1=-4. Multiplicando por -2 obtemos ( -2 )\cdot(1/ -4)=1/2.

Passo 4

Integrar o segundo termo 3 x^{-2}.
Usando a mesma ideia com n=-2:
\int 3 x^{-2}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1}.
Explicando: \int x^{-2}\,dx = x^{-1}/(-1), e multiplicando por 3 -3x^{-1}.

Passo 5

Integrar o terceiro termo x.
Aqui x = x^{1}, então com n=1:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Porque n+1=2 e divide-se por 2.

Passo 6

Somar as primitivas parciais e adicionar a constante de integração \,C.
Juntando os resultados dos Passos 3, 4 e 5:
F(x)=\frac{1}{2}x^{-4}-3x^{-1}+\frac{x^{2}}{2}+C.
Se preferir escrever sem potências negativas:
F(x)=\frac{1}{2x^{4}}-\frac{3}{x}+\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 7

Verificação: derivar F(x) e mostrar que volta ao integrando.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} e constantes saem da derivada):
  • Para \dfrac{1}{2}x^{-4}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{-4}\right)=\frac{1}{2}\cdot(-4)x^{-5}=-2x^{-5}.
  • Para -3x^{-1}:
\frac{d}{dx}\left(-3x^{-1}\right)=-3\cdot(-1)x^{-2}=3x^{-2}.
  • Para \dfrac{x^{2}}{2}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x = x.
Somando as derivadas e lembrando que \dfrac{d}{dx}C=0, obtemos
\frac{dF}{dx} = -2x^{-5}+3x^{-2}+x,
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x^{-4}-3x^{-1}+\frac{x^{2}}{2}+C

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