DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada e verificar essa primitiva derivando-a. A integral que devemos resolver é
Informações relevantes que temos:
- O integrando é a soma de três termos:
, e . - Devemos usar regras básicas de integração termo a termo e depois checar derivando a primitiva encontrada.
- Ao final inclui-se a constante de integração
.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- Regra do fator constante:
, onde é constante. - Regra da soma:
. - Regra de potência (para integração): para
,
Aqui cada variável e expoente que aparecer será tratado com essa regra; é importante lembrar que a regra não vale se
(caso
), mas nos nossos termos os expoentes são
,
e
, todos diferentes de
.
Passo 3
Integrar o primeiro termo
.
Aplicando a regra do fator constante e a regra de potência com
:
Explicando os passos:
porque
. Multiplicando por
obtemos
.
Passo 4
Integrar o segundo termo
.
Usando a mesma ideia com
:
Explicando:
, e multiplicando por
dá
.
Passo 5
Integrar o terceiro termo
.
Aqui
, então com
:
Porque
e divide-se por
.
Passo 6
Somar as primitivas parciais e adicionar a constante de integração
.
Juntando os resultados dos Passos 3, 4 e 5:
Se preferir escrever sem potências negativas:
Passo 7
Verificação: derivar
e mostrar que volta ao integrando.
Derivando termo a termo (regra:
e constantes saem da derivada):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando as derivadas e lembrando que
, obtemos
que é exatamente o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta.