Determine a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo De com centro
(a) em r=a0 e
(b) em r=2 a0 para o estado n=2, ell=0, m=0 do átomo de hidrogênio. ( O valor da constante C200 é dado no Problema 7-26.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar um elétron em um intervalo específico de distância De no átomo de hidrogênio, para o estado n=2, ell=0, m=0. Isso envolve a matéria de mecânica quântica, mais especificamente a parte que estuda as funções de onda dos elétrons nos átomos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região do espaço é dada pelo quadrado do módulo da função de onda psi. No caso do átomo de hidrogênio, a função de onda depende da distância r do núcleo e dos números quânticos n, ell e m.

Passo 3

Para o estado n=2, ell=0, m=0, a função de onda radial é dada por:
psi200(r) = C200 (2 - ra0) e^-r/(2a0)
onde C200 é uma constante de normalização e a0 é o raio de Bohr.

Passo 4

A probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo De ao redor de uma posição r é aproximadamente:
P(r) approx |psi200(r)|^2 cdot De
Isso porque, para intervalos pequenos, podemos considerar a função constante nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular |psi200(r)|^2:
|psi200(r)|^2 = |C200|^2 (2 - ra0)^2 e^-r/a0
Então, a probabilidade fica:
P(r) approx |C200|^2 (2 - ra0)^2 e^-r/a0 cdot De

Passo 6

Agora, substituímos r pelos valores dados nos itens (a) e (b):
(a) Centro em r = a0:
P(a0) approx |C200|^2 (2 - 1)^2 e^-1 cdot 0,02,a0 = |C200|^2 cdot 1 cdot e^-1 cdot 0,02,a0
(b) Centro em r = 2a0:
P(2a0) approx |C200|^2 (2 - 2)^2 e^-2 cdot 0,02,a0 = |C200|^2 cdot 0 cdot e^-2 cdot 0,02,a0 = 0

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron é:
  • (a) P(a0) approx |C200|^2 cdot 0,02,a0 cdot e^-1
  • (b) P(2a0) = 0

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