Mostre que a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no estado
do hidrogênio é
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a distância mais provável entre um elétron e o núcleo no estado $ n=2, \ell=1 $ do hidrogênio é $ r=4 a_{0} $. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre as funções de onda dos elétrons nos átomos. Para resolver isso, precisamos entender a função de probabilidade radial e como encontrar o ponto onde essa probabilidade é máxima.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron a uma certa distância $ r $ do núcleo é dada pela função de probabilidade radial $ P® $. Essa função é calculada multiplicando o quadrado da função de onda radial $ R_{n\ell}® $ por $ 4\pi r^{2} $. Ou seja:
Passo 3
Para o estado $ n=2, \ell=1 $ do hidrogênio, a função de onda radial $ R_{21}® $ é conhecida e pode ser escrita como:
Aqui, $ a_{0} $ é o raio de Bohr, uma constante que representa a escala do átomo de hidrogênio.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ |R_{21}®|^{2} $:
Passo 5
Substituindo $ |R_{21}®|^{2} $ na expressão de $ P® $:
Passo 6
Para encontrar a distância mais provável, precisamos maximizar $ P® $. Isso significa que vamos derivar $ P® $ em relação a $ r $ e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular a derivada:
Igualando a zero:
Resposta
A distância mais provável entre o elétron e o núcleo no estado $ n=2, \ell=1 $ do hidrogênio é $ r = 4 a_{0} $.